Duda doble análisis

Hola, MaríaGB:

- Falta personal (En el sentido de que faltan empleados, por ejemplo). Es correcto tu análisis. Falta (verbo) y personal (S.N. Sujeto).
Ahí personal actúa como nombre, y no como adjetivo, ya que se refiere al conjunto de personas que trabaja en algún sitio.
Si lo pasas a plural, por ejemplo con el nombre "ladrillo", tienes que:
Faltan ladrillos. Donde "faltan" sigue siendo el verbo y "ladrillos" el sujeto.

- ¡Falta personal! (En el sentido de una acción deportiva). También es correcto lo que argumentas. "Falta personal" es un sintagma nominal donde el núcleo es el sustantivo "falta", y luego tiene un adjetivo "personal" que complementa al sustantivo.
¿El tipo de oración? Depende del contexto. Pero si va entre signos de exclamación y lo dice un árbitro, por ejemplo, será una oración exclamativa.

Espero haberte ayudado,

Salu2!
Álvaro